自然数平方和与立方和问题

来源：恒创科技编辑：恒创科技编辑部

2024-02-04 09:23:59

1.公式总览：

①连续自然数的平方和 a[i]=i^2，S(n)=n*(n+1)(n*2+1)/6；

②连续自然数的立方和 a[i]=i^3,S(n)=(n*(n+1)/2)^2;

③连续偶数的平方和 a[i]=(2*i)^2,S(n)=n*(n+1)*(n*2+1)*2/3;

④连续奇数的平方和 a[i]=(2*i-1)^2,S(n)=n*(n*2-1)*(n*2+1)/3;

2*n^2*(n+1)^2;

⑥连续奇数的立方和 a[i]=(2*i-1)^3,S(n)=n^2*(2*n^2-1);

二、公式证明：

用Sn代表从1开始的连续自然数的n次方的和。

①/news/upload/ueditor/image/202209/h510wgskm5n.html 这里就不再单独给出证明。

用①证明方法里的第四种方法，还何以求出连续自然数的4次方、5次方等等的和。

③a[i]=(2*i)^2=4*i^2;

s=4*S2

n*(n+1)*(n*2+1)*2/3;

④a[i]=(2*i-1)^2=4*i^2-4*i+1

s=4*S2-4*S1+n

(n)=n*(n*2-1)*(n*2+1)/3;

⑤a[i]=(2*i)^3=8*i^3;

s=8*s3

=2*n^2*(n+1)^2;

⑥a[i]=(2*i-1)^3=8*i^3-12*i^2+6*i-1;

s=8*S3-12S2+6S1-n

n^2*(2*n^2-1);

以上平方和与立方和的公式及推导证明旨在给大家一个启发，能够举一反三，在遇到求n次方的和的时候能有法可循。实际上，只要记住S1、S2、S3的求和公式，其他的公式再掌握推导方法后，都是很快就可以算出来的。真正重要需要记住的也只是这三个公式而已。

例题链接：hdoj2007

要注意避免计算过程中超出long long的范围。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long m,n,x,y;
int a[100];

void init()
{
  freopen("1.in","r",stdin);
  freopen("1.out","w",stdout);
}

void work()
{
  long long i,j,k1,k2;
   while(scanf("%I64d%I64d",&m,&n)==2)
     {
       if(m>n)swap(m,n);

       k1=(m+1)/2-1,k2=n/2;
       x=(k2-k1)*(2*(k2*k2+k2*k1+k1*k1)+3*k1+3*k2+1)*2/3;
       
       k1=m/2,k2=(n+1)/2;
       y=(k2-k1)*(k2+k1)*(2*k1*k1+2*k2*k2-1);
       printf("%I64d %I64d\n",x,y);
     }
}

int main()
{
  init();
  work();
  return 0;
}